El cálculo del los Símbolos de Christoffel puede ser bastante complicado, por ejemplo para dimensión 2 que es el número
de símbolos que tiene una superfice, hay 2 x 2 x 2 = 8 símbolos y empleando la simetría serían 6.
Para dimensión 4 el número de símbolos es 64 y empleando la simetría se reducen a 40. Ciertamente son muchos cálculos para y esto es solo para encontrar las ecuaciones de las geodésicas.
Veremos en esta sección el método del Lagrangiano que nos permite obtener rapidamente las ecuaciones de las geodésicas y de ahí obtener los símbolos de Chistoffel.
Las ideas son la base del Cálculo de Variaciones llamado principio de mínima acción de Euler-Lagrange
Principio de mínima acción de Euler-Lagrange
Sea \( L\in{C^2(\mathbb{R}^3)} \) y sea C el conjunto de funciones
\( y \in C^1([a,b]) \) tales que y(a)=c, e y(b)=d, Si
\( \int_a^b L(y(x), y'(x), x) dx \)
alcanza su mínimo en alguna \( y_0\in{C} \) entonces,\( y_0 \) es solución de la ecuación diferencial
\( \frac{d}{dx}(\frac{{\partial L}}{{\partial y^{\prime}}}) - \frac{{\partial L}}{{\partial y}} = 0 \)
Antes de nada, una cuestion de notación a partir de ahora usaremos el caracter punto "." para la derivada, esta es una notación usada en fisica, por ejemplo para denotar
\( \frac{dx}{d\lambda} \) usaremos \( \dot{x} \)
El método del Lagrangiano se basa en el siguiente teorema:
Sea la metrica inducida por la usual en una esfera S
2 (Fig 1.), es decir
\( ds^2 = d \theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2 \)
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Fig. 1 La esfera S2
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Escribimos el Lagrangiano asociado a esta métrica, es decir
\( L = \dot{\theta}^2 + sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \)
Entonces hacemos los cálculos
\( \frac{d}{d\lambda}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{\theta}}}) = 2\ddot{\theta} \),
\( \frac{{\partial L}}{{\partial \theta}} = 2\dot{\phi}^2 sin \theta cos \theta \)
\( \frac{d}{d\lambda}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{\phi}}}) = 2\ddot{\phi} sin^2 \theta + 4 \dot{\theta}\dot{\phi} sin \theta cos \theta \),
\( \frac{{\partial L}}{{\partial \phi}} = 0\)
Y esto nos permite ya escribir las ecuaciones de las geodésicas, obtenemos
\( \left\{\begin{matrix} \ddot{\theta} - sin \theta cos \theta \dot{\phi}^2 = 0 \\ \ddot{\phi} + 2 \displaystyle\frac{cos \theta}{sin \theta} \dot{\theta}\dot{\phi} = 0 \end{matrix}\right.\)
Recordando que la ecuacion de las geodesicas es
\( \frac{d^2x^k}{d\lambda^2} + \Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{d\lambda}\frac{dx^j}{d\lambda} = 0 \)
Obtenemos tambien los simbolos de Chistoffel, son los
\( \Gamma_{22}^{1}=-sin\theta cos\theta \)
\( \Gamma_{12}^{2}=\Gamma_{21}^{2}=\frac{cos\theta}{sin\theta} \)
El resto de los símbolos de Christoffel son cero.